BLS签名算法( 二 ) _生活百科

e ( P , Q ) → n
此函数还要有一个重要的特性。即对于未知数 x 和两个点 P 、 Q，无论哪个点乘以 x，结果相同，即：
e ( xP , Q ) = e ( P , xQ )
该函数还有如下性质：
e ( aP , bQ ) = e ( P , abQ ) = e ( abP , Q ) = e ( bP , aQ ) = e ( P , Q ) ab
这里就不对该函数的原理进行详细介绍，里面涉及到许多数学原理。但不出意外的话，我后面会更新一篇关于配对（pairings）的理论，感兴趣的话可以关注一下。
现在就只需要知道这种函数是存在的，并且它们有上面介绍的性质。除此之外，它并不会暴露x的任何信息。
值得注意的是，配对函数中不能使用任何椭圆曲线（特别是比特币的 secp256k1 椭圆曲线）。我们必须使用非常特殊的曲线（通常出自易于配对的曲线簇），才能保证函数的效率和安全。
三、BLS签名方案现在终于能进入正题啦！
下面用 pk 表示私钥，P 表示公钥，m 表示待签名的消息。其中 P = pk×G.
3.1 签名① 对消息m 进行曲线哈希得到H(m).
② 使用私钥进行签名。将刚刚得到的结果乘以私钥。
S = pk × H(m)
3.2 验证签名在验证签名的时候，使用公钥 P 进行验证。验证过程如下：
e ( P , H(m) ) = e ( G , S )
3.3 原理下面证明 e ( P , H(m) ) = e ( G , S ) 该等式成立。
已知：P = pk×G，e ( xP , Q ) = e ( P , xQ ) .
e ( P , H(m) ) = e ( pk × G, H(m) ) = e ( G , pk × H(m) ) = e ( G , S )
下图能够很直观的表示。BLS 签名验证，我们只需验证公钥和消息的哈希值（曲线上两个点）与曲线生成点和签名（曲线上另两个点）是否映射到同一个数（若是则说明这是一个有效的 BLS 签名）。

文章插图
四、签名聚合前面提到BLS签名算法可以实现签名聚合，下面就来介绍这个非常棒的特性。
现在假设在区块链的场景下，有一个区块有1000笔交易，每笔交易都由签名Si、公钥Pi 和消息mi 组成。现在我们只关心区块中所有的签名（而不是每一个）是否正确。为获得聚合签名，只需要将区块中的所有签名加起来：
S=S1+S2+...+S1000
为了验证该区块是否正确，要保证下面这个等式成立。
e ( G , S ) = e ( P1 , H(m1) ) × e ( P2 , H(m2) ) × ... × e ( P1000 , H(m1000) )
如果签名是有效的，那么该等式是成立的。证明如下：（这里我直接放word里的截图）

文章插图
这里我们仍需用到所有的公钥，并计算 1001 次配对函数，好处是，区块中的签名只占 33 字节了。签名聚合可以由矿工在挖矿时完成，节省大量的区块空间。
4.1 n-n多重签名使用多重签名的地址时，我们会对同一笔交易用不同的密钥进行签名。这种情况下，可以和 Schnorr 算法一样使用聚合密钥，把所有密钥和签名聚合成单个公钥和签名。
下面我们以 3-3 多重签名方案为例（同理可推导任意数量的多重签名方案）。一种简单的聚合方法，是把所有的签名和密钥加起来即可。即：
签名聚合结果：S=S1+S2+S3密钥聚合结果：P=P1+P2+P3 可以验证以下等式依然成立： e ( G , S ) = e ( P , H(m) ) 证明如下：（这里我直接放word里的截图）