题：如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点 ， ∠EAF=45°，求EF/AB的最小值.
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此题难度一般，本人在《经典再现22》一文中抛出了一块砖(如下解法一)，引来了多块玉，许多网友纷纷评论，给出了更为巧妙简便的解法，现整理为如下的解法二、三、四 。或许还有其他解法，欢迎各位高手不吝赐教 。
解法一：如图2 ， 连接AC.则∠BAC=∠DAC=45°，
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所以∠BAE+∠EAC=45°，
因为∠EAF=45°，
所以∠EAC+∠CAF=45°，
所以∠BAE=∠CAF.
同理，∠DAF=∠CAE.
作EG⊥AC于G ， FH⊥AC于H，则
∠AGE=∠AHF=∠B=∠D=90°，
所以△ABE∽△AHF，△ADF∽△AGE，
所以BE/HF=AE/AF，DF/GE=AF/AE，
两式相乘 ， 得
BE/HF?DF/GE= AE/AF?AF/AE=1，
所以BE?DF=GE?HF ，
因为△GCE和△HCF都是等腰直角三角形，
所以GE=CE/√2，HF=CF/√2，
所以BE?DF=CE?CF/2.
设正方形ABCD的边长为1，CE=x，CF=y，则
BE=1-x，DF=1-y，
所以(1-x)(1-y)=xy/2，
整理，得xy=2(x+y)-2，
所以EF=√(x^2+y^2)
=√[(x+y)^2-2xy]
=√[(x+y)^2-4(x+y)+4]
=√[(x+y)-2]^2
=|x+y-2| ，
显然，x+y<2，
所以EF=2-(x+y).
设x+y=s，则EF=2-s，y=s-x ，
因为xy=2(x+y)-2 ，
所以xy=2s-2，
所以x(s-x)=2s-2，
整理，得x^2-sx+2s-2=0，
因为x为实数 ，
所以△=s^2-4(2s-2)≥0，
即s^2-8s+8≥0，
解得s≥4+2√2或s≤4-2√2，
所以s最大值为4-2√2，
所以EF最小值=2-(4-2√2)=2√2-√2.
所以EF/AB的最小值为2√2-2.
解法二：如图3，因为四边形ABCD为正方形，
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所以AB=AD，∠DAB=90°，
所以将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，则
AG=AF，BG=DF，∠BAG=DAF，∠ABG=∠D=90°，
所以G、B、E三点共线，
所以EG=BG+BE=DF+BE 。
在△AGE 与△AEF中，
因为∠EAF=45°，
所以∠BAE+∠DAF=45°，
所以∠GAE=45°=∠EAF，
又AE=AE，
所以△AGE≌△AEF，
所以EF=EG，
设正方形ABCD的边长为1，BE=a，DF=b，则
EF=a+b，CE=1-a，CF=1-b ，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
(1-a)^2+(1-b)^2=(a+b)^2 ，
整理，ab+a+b-1=0，
设a+b=s ， 则a=s-b，代入上式，得
(s-b)b+s-b+b-1=0，
整理 ， 得b^2-sb+1-s=0，
因为b为实数，
所以△=s^2-4(1-s)≥0 ，
即s^2+4s-4≥0，
解得s≥-2+2√2，或s≤-2-2√2(舍去)，
【一题多解经典几何题目 一题多解系列02旋转的45角是多少】 所以s最小值为2√2-2 ，
即EF的最小值为2√2-2.
所以EF/AB的最小值为2√2-2.
解法三：如图1，设正方形ABCD的边长为1，BE=a，DF=b ， 则CE=1-a，CF=1-b，
在△EAF和△CEF中，分别由余弦定理和勾股定理 ， 得
AE^2+AF^2-2AE?AF?cos∠EAF= EF^2=CE^2+CF^2，
即1+a^2+1+b^2-2√(1+a^2)? √(1+b^2)cos45°=(1-a)^2+(1-b)2，
整理，得
2(a+b)= √2?√(1+a^2)? √(1+b^2) ，
两边平方，整理，得'
a^2+b^2+4ab=1+ a^2b^2，
再整理，得
a^2+b^2+2ab=1-2ab+ a^2b^2 ，
即(a+b)^2=(1-ab)2，
因为a+b>0，ab<1，
所以a+b=1-ab，
设a+b=s ， 则仿照解法二，得
s最小值为2√2-2 。
又EF^2=(1-a)^2+(1-b)2
=2-2(a+b)+a^2+b^2，
=2-2(1-ab)+ a^2+b^2
=2ab+a^2+b^2
=(a+b)^2，
所以EF=a+b，
所以EF最小值为2√2-2，
所以EF/AB最小值为2√2-2 。
解法四：设正方形ABCD的边长为1，BE=a，DF=b，∠BAE=α，则
∠DAF=45°-α，tanα=a，tan(45°-α)=b，
又tan(45°-α)=
(tan45°+tanα)/(1+tan45°?tanα)
=(1-a)/(1+a) ，
所以(1-a)/(1+a)=b ，
在Rt△CEF中，
CE=1-a，
CF=1-b=1-(1-a)/(1+a)=2a/(1+a)，
所以EF=√(CE^2+CF^2)
=√[(1-a)^2+4a^2/(1+a)^2]
=√[(1-a)^2(1+a)^2+4a^2]/(1+a)
=√(1+2a^2+a^4)/(1+a)
=√(1+a^2)^2/(1+a)
=(1+a^2)/(1+a)，
设EF=s，则s=(1+a^2)/(1+a)，
去分母，得s+sa=1+a^2，
整理为关于a的一元二次方程 ， 得
a^2-sa+1-s=0，
因为a为实数，
所以△=s^2-4(1-s)≥0，
即s^2+4s-4≥0，
解得s≥-2+2√2，或s≤-2-2√2(舍去)，
所以s最小值为2√2-2，
即EF的最小值为2√2-2.
所以EF/AB的最小值为2√2-2.
