【三角函数为什么用弧度而不用角度 为什么要定义三角函数】
【提问】以角度为自变量可以建立三角函数吗？有人说不行，因为以角度为元素的集合不是数集．又有人说，角度带有单位，应该是常量，不是实数．到底如何解释呢？
【回复】
角度，通常指一个角的大小用度分秒制表示出来的数字．
1°表示一个角的大小是周角的360分之一．1°当然不是实数．
但是，把1°中的数值1单独抽出来说 ， 这个1是实数．这样说当然是对的．
任意给定一个角α(正角、负角或零角)，总可以用度分秒制的度数表示它的大小，这个α角的大小就是n度，再把其中的n单独抽出来看，n是一个实数（这个过程实际上与用弧度制表示角时把弧度二字省略是一样的)．反之，任意给定一个实数n，我们总可以找到一个角α使其度数为n．于是角n的集合与实数集R建立了一一对应的关系．
因此，我们能以角度n为自变量建立正弦函数等三角函数．
必须指出的是，以角度为自变量的函数，它给我们带来的麻烦不仅是不可胜数而且是无处不在的，而弧度制处处显示它的优越性．
首先是换算．度分秒制里的数 ， 并用着十进制和六十进制 。例如角α＝136°47′21"，其中136、47、21都是十进制，而度、分、秒之间是六十进制．于是，为了找出与角α对应的实数n，人工计算肯定是比较麻烦的．
其次是运算．例如弧度制下，π/3+1=(π+3)/3 ， 畅通无阻．而60°+1怎么加？难道是60+1＝61（度）吗？当然不是．
更重要的是运用．比如 ， 弧长公式用弧度制是l= αr ，而角度制则是l=nπr/180，麻烦不少．
又如求导公式，在弧度制下的求导公式，如用角度制，则统统要改写，比如自然对数的导数，在弧度制下非常漂亮 ， 用角度制则是自找麻烦！
再如求定积分 ， ∫(0°,45°)sinxdx=(-cosx)|(0°,45°)=-(cos45°-cos0°) =(√2/2)-1，别别扭扭．
总之，用角度制非不行也，乃不便也，故不必也．
有人说“其实角度制的数字是带量纲的，弧度制的数字是不带量纲的 ， 弧度制下的三角函数问题已经抽象为纯粹的数学问题，有更为广泛的应用．”
角度通常认为它是无量纲的量(与长度不同)．如果坚持说它有量纲，那么它量纲为1．量纲说到底是物理上的概念，其理论还有点复杂，故不予深究．何况回答上述问题，完全不必扯出量纲来说．
有人说“度分秒制表示的角是有理数，不能与实数集一一对应．而弧度制能，所以用弧度制．”
从理论上讲，度数为无理数的角是存在的，如同弧度制里有无理数的角一样，其大小可用有理数去逼近．可见 ， 这个不能成为三角函数用弧度制的角作为自变量的理由．
有人说“这个问题教材已经讲得很清楚了，建议大家认真阅读下教材，以角为自变量可以通过弧度数与实数一一对应 ， 自然符合函数的定义呀．”
教材里只是讲清楚了为什么可以用弧底制定义三角函数，没有讲为什么不用角度制去定义三角函数．进一步说，教材不是百科全书，不可能把一切可疑的问题都讲清楚．关于用角度制定义三角函数的问题，第一不必要讲，第二也不好讲．
有人问“函数作图，对x、y轴的长度单位要不要求一致？”
作函数图像时 ， 对x、y轴的长度单位是要求一致的．否则会因单位不一致使得图像“失真”．但是，对于实际应用题的图像，x、y轴的长度单位可以不一致 ， 根据情况酌定．
有人问“角度制下能不能作出三角函数的图像？”
在角度制下，三角函数的图像是可以画出的．不过，要事先要一些约定．比如说 ， 表示1度的实数1，在横轴上画一个单位长，90度的正弦值等于1，这个1在纵轴上同样画一个单位长，那么，这样画出来的“正弦曲线”非常扁平，看起来缺少美感，也不方便应用．
又有人说：“上述这个问题，似在嘴边，而几乎没有想到．明白了这个道理 ， 继续学习三角，积极性提高了．” 笔者完全赞同这个说法．
