.x y=z有无穷多组整数解，称为一个三元组；x^2 y^2=z^2也有无穷多组整数解 ， 这个结论在毕达哥拉斯时代就被他的学生证明，称为毕达哥拉斯三元组，我们中国人称他们为勾股数 。但x^3 y^3=z^3却始终没找到整数解 。最接近的是：6^3 8^3=9^-1，还是差了1 。于是迄今为止最伟大的业余数学家费马提出了猜想：总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和 。
【费马大定理巧妙证明 费马大定理有几种证明方法】
已知：a^2 b^2=c^2
令c=b k ， k=1，2 ， 3，则a^2 b^2=(b k)^2 。
因为，整数c必然要比a与b都要大，而且至少要大于1 ， 所以k=1，2，3…… 。
设：a=d^(n/2) ， b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；
则a^2 b^2=c^2就可以写成d^n h^n=p^n，n=1，2，3…… 。
当n=1时，d h=p，d、h与p可以是任意整数 。
当n=2时，a=d ， b=h，c=p，则d^2 h^2=p^2=>；a^2 b^2=c^2 。
当n≥3时，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n 。
因为，a=d^(n/2) ， b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；要想保证d、h、p为整数，就必须保证a、b、c必须都是完全平方数 。
a、b、c必须是整数的平方，才能使d、h、p在d^n h^n=p^n公式中为整数 。
假若d、h、p不能在公式中同时以整数的形式存在的话 ， 则费马大定理成立 。
1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨，于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题，分三次作了演讲 。
1994年10月25日11点4分11秒 ， 怀尔斯通过他以前的学生、美国俄亥俄州立大学教授卡尔鲁宾向世界数学界发了费马大定理的完整证明邮件，包括一篇长文“模椭圆曲线和费马大定理”，作者安德鲁怀尔斯 。另一篇短文“某些赫克代数的环论性质”作者理查德泰勒和安德鲁怀尔斯 。至此费马大定理得证 。
怀尔斯和他以前的博士研究生理查德泰勒用了近一年的时间，用之前一个怀尔斯曾经抛弃过的方法修补了这个漏洞，这部份的证明与岩泽理论有关 。这就证明了谷山-志村猜想，从而最终证明了费马大定理 。
