泰勒公式的推导过程为：若函数f（x）在包含x0的某个开区间（a ， b）上具有（n＋1）阶的导数，那么对于任一x∈（a，b），有f（x）＝f（x0）／0?。玣＇（x0）／1?。玣＇（x0）／2?。玣（n）＇（x0）／n?。玆n（x） 。
其中，Rn（x）＝f（n＋1）δ（x－x0）＾（n＋1）／（n＋1）！，此处的δ为x0与x之间的某个值 。f（x）称为n阶泰勒公式，其中 ， P（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x－x0）＋．．．＋f（n）（x0）（x－x0）＾n／n！称为n次泰勒多项式 。
【泰勒公式的推导过程 泰勒公式的推导过程知乎】
x0由导数的定义可知，当函数f（x）在点x0处可导时 ， 在点x0的邻域U（x0）内恒有f（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x-x0）＋o（x－x0） 。因为o（x－x0）是一个无穷小量，故有f（x）≈f（x0）＋f＇（x0）（x-x0） 。
从几何上看，它是用切线近似代替曲线 。然而，这样的近似是比较粗糙的，而且只在点的附近才有近似意义 。为了改善上述不足，使得近似替代更加精密，数学家们在柯西中值定理的基础上，推导出了泰勒中值定理（泰勒公式） 。
