拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学 ， 也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科 。
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我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学” ， 但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学 ， 这是按音译过来的 。拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同 。
通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质 。
拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关 。
举例来说，在通常的平面几何里 ， 把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合 ， 那么这两个图形叫做全等形 。但是 ， 在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化 。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变 。
例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数 。
这些就是拓扑学思考问题的出发点 。拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质 。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念 ， 但是讨论拓扑等价的概念 。
比如 ， 尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同 ， 在拓扑变换下 ， 它们都是等价图形 。
左图的三样东西就是拓扑等价的 ， 换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的 。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块 。
在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价 。
一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价 。应该指出，环面不具有这个性质 。
比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形 ， 对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面 。
所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面 。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质 。
在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质 。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样 。
但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面 。
这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面 。拓扑变换的不变性、不变量还有很多 ， 这里不在介绍 。
拓扑学建立后 ， 由于其它数学学科的发展需要 ， 它也得到了迅速的发展 。
特别是黎曼创立黎曼几何以后 ， 他把拓扑学概念作为分析函数论的基础 ， 更加促进了拓扑学的进展 。
二十世纪以来 ， 集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌 。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念 。
拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述 。
因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性 。
通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构 ， 从而掌握空间之间的函数关系 。
本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念 。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等 。
有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况 ， 因此 ， 这两门学科应该存在某种本质的联系 。
1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展 。拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支 。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学 。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑 。现在，这两个分支又有统一的趋势 。拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用
