魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面

魔方可以六面还原的数学原理
魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

魔方小课堂
很多小朋友都很喜欢玩魔方 也通过各种方式都学会了魔方,都是根据现有的公式和方法来学习,王老师一直建议小朋友不仅仅学会魔方,还要知道背后的原理和思路,正所谓 知其然,也要知其所以然,今天我们来看看魔方六面还原中蕴含的那些数学原理

魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

一 魔方结构
魔方的构成 三阶魔方是由 3×3×3-1=26 个小方块组成的立方体 , 有 6 个面(还原之后每个面颜色相同,共 6 种颜色),每个面有 9 个 小面,共 54 个小面 。26 个小方块包括 6 个中心块(仅一个可见 面)、12 个棱块(两个可见面)、 8 个角块(三个可见面)

魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

.魔方的还原 魔方每个面都可以绕轴任意转动,随便转动几个面,魔方 就会成为颜色斑驳的状态 。将这样的状态改变成为每个面上的 所有小面颜色都相同称为魔方的还原 。还原过程实际就是根据 每一面中心块的颜色,对棱块和角块进行“对色”与“对位” 。

魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

二 魔方中的数学
一 魔方中的排列组合
由排列组合中的乘法和加法原理可知,三阶魔方共有 8!×38×12!×212 3×2×2 种状态 。除去被轴固定的 6 个中心块外,剩 余 20 个小块,8 个角块放在 8 个角位置,全排列为 8! , 每个 角块的三种颜色因为方向的不同又有 3 种方法,因此共有 8!× 38 种排列;同理,12 个棱块共有 12!×212 种排列 。

魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

但是魔方还原 过程中,保持其他小块不动时,不可以单独改变一个角块的朝 向,不可以单独改变一个棱块的朝向,也不可以单独交换一对 棱块或一对角块的位置 , 因此需要除去 3×2×2 。由此可见,要凭 运气把一个颜色斑驳的魔方还原成同面同色几乎是不可能的 。

魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

二 魔方的对称性
对称是一个几何图形 Φ 的如下性质:在某个变换群 G 的 作用下 ,  Φ 被映射到自身上,这个群称为对称群 。如果变换群 G 是一条直线,那么几何图形 Φ 就是关于直线 G 的对称图形;如 果变换群 G 是一个点,那么几何图形 Φ 就是以点 G 为中心的 对称图形 。
【魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面】
魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

若以点 G 为中心的对称图形 Φ 在平面内绕着 G 旋 转 360°/n(n 是一个整数)后与自身重合,那么 Φ 有一个 n 阶对 称 , 且 G 称为其对称中心 。如图 a,b,c 分别是以 O 为中心的 2 阶、 4 阶、 3 阶对称 。这样的对称性在正方体中完全展现 , 只是此 时绕平面内某点的旋转换成了空间中绕某直线的旋转 。

魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

三阶正方体魔方具有 2 阶、 3 阶、 4 阶对称轴,这样的对称 性是除了球体以外的其他物体所不能比拟的[1] 。魔方的还原过 程就在于旋转中魔方色块位置的交换,对于魔方每层每次的旋 转都是绕着该层中心块的变换 , 这样的保持点间距离不变的空
三 魔方群
魔方的转动是指将魔方某个面上的所有块顺时针(面对该面)旋转 90° 。相应的,若是逆时针旋转则称为逆转动 。为了记录下转乱、复原的过程 , 习惯上采用由 David Singmaster 发明的符号来书写 。以英文 Up(上)、Down(下)、Front (前)、Back(后)、Left(左)、Right(右)的第一个字母分别表示魔 方的上、下、前、后、左、右六个面的转动;用小写字母 u、 d、 f、 b、 l、 r 表示各面及相应的中心块;用 xy 来表示位于 x 面 y 位置的 棱块小面,如 uf 表示 u(上)面 f(前)位置的小面;用 xyz 表示位 于 x 面 yz 位置的角块小面,如 ufr 表示位于示 u(上)面 fr(前 右)位置的小面 。

魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

在对魔方任意一个面进行转动的时候,该面所在层的中心 块不会改变,其余 20 个小面的位置随之发生改变,这样的转动 可以用一系列小面的置换来表示:U=(ulb ubr urf ufl )(ub ur uf ul)(bul rub fur luf)(bu ru fu lu)(bru rfu flu lbu) D=(dbl dlf dfr drb)(db dl df dr)(bld lfd frd rbd)(bd ld fd rd)(bdr ldb fdl rdf) F=(flu fur frd fdl)(fu fr fd fl)(ufl rfu dfr lfd)(uf rf df lf )(urf rdf dlf luf) B=(bul bld bdr bru)(bu bl bd br)(ulb ldb drb rub)(ub lb db rb)(ubr lbu dbl rbd) L=(luf lfd ldb lbu)(lu lf ld lb)(ufl fdl dbl bul)(ul fl dl bl)(ulb flu dlf bld) R=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf)(urf bru drb frd)(ur br dr fr)(ubr bdr dfr fur)

魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

设 G= U,D,F,B,L, R 是魔方所有转动生成的集合,可以 证明该集合以合成作为运算构成一个群 , 称为魔方群 。它是上 述一系列小面的置换作为生成元的一个循环群 。G 中的元素代表了所有置换的情形 , 魔方变换的所有状态 都能够找到与之相应的元素,魔方从还原状态经过一系列变化 再次还原,实现了一次循环,实际也是 G 中的元素经过周期性 的操作能够实现的,从中可以看到魔方还原与循环群的共性 。

魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图


魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

当初厄尔诺·鲁比克教授发明魔方,就是将其作为帮助学生增强空间思维能力的教学工具 。
经过观察、分析 , 我们不仅可 以找到魔方中蕴涵的数学知识 , 也看到了魔方中的教学因素:
通过魔方的外观展示和结构剖析帮助学生建立立体模型的概 念,增强空间观念
通过魔方还原有助于学生深刻感受置换、循环,理解群论的相关概念
从外观一个简单的立体图形,到还原 过程中的各类变换 有助于学生逻辑思维能力的学习和提升

魔方可以六面还原的数学原理 魔方怎么还原六面
文章插图

魔方用自己的方式在讲述着数学,实践着 数学

经验总结扩展阅读