【正交矩阵的特点】正交矩阵具有以下特性：逆矩阵也是正交的，两个正交矩阵的乘积也是正交的 。正交矩阵的行列式的值为正1或负1 。事实上，所有n×n正交矩阵构成的集合满足群的公理 。这个集合是一个维度为n(n?1)/2的紧致李群，称为正交群 ， 记作O(n) 。行列式为1的正交矩阵构成了一个路径连通的子群，指标为2的O(n)正规子群，称为旋转的特殊正交群 ， 记作SO(n) 。商群O(n)/SO(n)同构于O(1)，具有行列式选择[1]或[?1]的投影映射 。带有行列式为?1的正交矩阵不包括单位矩阵，因此它们不构成子群 ， 只是陪集；它们也是(分离的)连通的 。因此，每个正交群可以分为两个部分；由于投影映射的分裂，O(n)可以看作是SO(n)与O(1)的半直积 。用常见术语来说，一个重要的陈述是任何正交矩阵都可以通过采用一个旋转矩阵并可能取反它的一列来生成，就像在2×2矩阵中所观察到的那样 。如果n是奇数，则半直积实际上就是直积 ， 任何正交矩阵都可以通过采用一个旋转矩阵并可能取反它的所有列来生成 。
