因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵 ， 而行列式的值不变，对角矩阵的行列式就是对角元素相乘 。记矩阵为A ， 记λ为A的特征值 ， 按照定义有：f(λ)=det(A-λE)=0 ， f(λ)为A的特征多项式，A的所有特征值为f(λ)=0的根 ， 根据韦达定理 ， 方程的根的乘积与系数的关系，特征值的乘积恰好为矩阵A的主子式的代数和，而这个和等于detA 。所以特征值乘积等于行列式的值 。
行列式的性质：
1、行列式A中某行（或列）用同一数k乘 ， 其结果等于kA 。
2、行列式A等于其转置行列式AT 。
3、若n阶行列式|αij|中某行（或列）；行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1，b2，…，bn；另一个是с1 ， с2 ， … ， сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样 。
4、行列式A中两行（或列）互换，其结果等于-A 。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上 ， 结果仍然是A 。
拓展：
行列式定义的连加运算中，每一项可以这么理解：
行列式每一行都选出一个数字进行连乘，并且这些选出的数不能是同一列的 。次数第二高的式子必须至少有n-1个(λ-aii) 。
然而|λI-A|的连加运算中不可能有哪一项包含n-1个(λ-aii) 。因为如果存在包含n-1个(λ-aii)的项，那么假设没提供(λ-aii)的那行是第k行 。
第k行必须从别的列上取一个数，但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都占用了并且还在对角线上 。这导致第k行只能去第k列取数 ， 而k行k列显然是(λ-akk)，存在矛盾 。
【特征值相乘等于行列式的值 特征值相乘为什么等于行列式】所以次数第二高的项也在（-1）τ(1，2,··· ， n)П(λ-aii)中 。
