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纳什|美女与男人的游戏：看似公平的收割方法。博弈论与纳什均衡（六）

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纳什|美女与男人的游戏：看似公平的收割方法。博弈论与纳什均衡（六）
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你炒股吗？总有同学跟我说 ， 自己明明是个散户 ， 但是却能撬动整个大盘 。 自己卖了大盘就涨 ， 自己买了大盘就跌 ， 这是怎么回事呢？
有一个有趣的博弈论例子 ， 和我们在股市的遭遇很像 。 这个例子是这样的：
有一个男人在酒吧里喝酒 ， 一位美女走过来 ， 对他说：我们玩个游戏吧 。 规则如下：
我们每个人手里各拿一个硬币 ， 不让对方知道的扣在桌子上 。 然后两人同时把手拿开 ， 看硬币的正反面 。 如果两枚硬币都是正面 ， 那么美女给男人3块钱 。 如果都是反面 ， 那么美女给男人1块钱 。 如果硬币是一正一反 ， 男人给美女两块钱 。
请问 ， 男人应该参与这个游戏吗？如果双方一直玩下去 ， 是不是会没输没赢呢？
如果只使用概率论 ， 很容易感觉这是一个公平的游戏 。 因为如果两个人都是随机出牌 ， 那么两个都正面的概率为1/4 ， 两个都反面概率为1/4 ， 一正一反概率为1/2 ， 按照概率和期望的含义 ， 一次游戏中男人收益的数学期望就是0 。
纳什|美女与男人的游戏：看似公平的收割方法。博弈论与纳什均衡（六）
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也就是说：经过一次游戏 ， 男人平均回报为零 ， 既不赚钱 ， 也不亏钱 。
事实真的如此吗？
在这个游戏中 ， 男人和女人并不是抛硬币 ， 而是自己选择出硬币正面还是反面 ， 显然 ， 男人和女人都不可能一直出正面或者一直出反面 ， 因为这样会被对手摸出规律 。 但是他们依然可以在多次游戏中将自己正面的频率设定为某个值附近 ， 从而获得统计意义上的收益 ， 从而使得游戏就从一个概率问题 ， 变成了一个博弈问题 ， 这个固定的频率就是混合策略的纳什均衡 。
可是这个频率如何计算呢？
我们假设男人的策略是：出正面的频率为x ， 出反面的概率为1-x；
【纳什|美女与男人的游戏：看似公平的收割方法。博弈论与纳什均衡（六）】假设女人的策略是:出正面的频率为y ， 出反面的频率为1-y 。
游戏中各种情况下的概率表格如图所示 。
用每种情况下男人的收益乘以概率 ， 再把它们相加 ， 就能计算出男人的收益期望：
两人对这个期望值E是有不同预期的：
女人希望男人一直赔钱 ， 所以希望男人收益的期望E越小越好 。
男人希望自己一直赢钱 ， 所以希望自己的收益期望E是正的 ， 越大越好 。
纳什|美女与男人的游戏：看似公平的收割方法。博弈论与纳什均衡（六）
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我们不妨先从女人的角度考虑吧：她究竟应该让自己的y取多少 ， 才能让男人的期望收益E最小呢？我们把表达式做一个变形：
E=(8y-3)x-3y+1
女人会想：
如果我的策略中y>3/8 ， 那么8y-3就是正的 。 E会随着x的增大而增大 ， 所以男人发现自己的套路后 ， 就会让x=1 ， 这样一来男人的收益期望就是E=5y-2 。 由于y>3/8 ， 所以E>-1/8 。 男人平均玩一局 ， 输的钱不超过1/8元 。
如果我的策略中y
-1/8 ， 男人输的前不会超过1/8元 。
如果我的策略是y=3/8呢 ， 这样E=1-3y=-1/8 ， 无论男人采用什么策略 ， 他玩一局就输1/8元 。
综上所述 ， 对女人来讲 ， 最优策略就是y=3/8 ， 这样无论男人怎么做 ， 每一局平均都会输掉1/8元 。
纳什|美女与男人的游戏：看似公平的收割方法。博弈论与纳什均衡（六）
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那么 ， 男人又会如何思考呢？他也希望调整x ， 让自己的期望E最大 。 他会把公式这样变形：

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