美国资深中学老师：泛滥成灾的“发现式数学”， 还要毁掉多少孩子的数学能力？( 二 )
在那些只推崇“发现式数学”的教育者看来 ， 吉米这样靠记忆学会的乘法计算不是真正的学会 ， 只是大量机械式练习的结果 。 只有靠学生推断、探究出来的知识 ， 才算真正学会了 。
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在美国共同核心标准的《数学标准》中 ， 也用一个例子说明了为什么理解比记忆公式、算式更重要：“一个靠理解和一个靠背诵学会（a+b）(x+y)的学生之间有很大的不同 ， 因为前者可以通过理解算法的原理 ， 推演出全新问题的解法 ， 比如（a+b+c）(x+y) 。 ”
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但是 ， BarryGarelick却反对什么都让孩子去探究 ， 尤其是在他们没有什么基础知识储备的情况下 。 因为孩子如果连基础知识的“脚手架”都没有 ， 只靠自己观察 ， 是很难探究到成体系的数学规律的 ， 更不要提去理解重要的数学概念 。
可是 ， 在建构主义的影响和各类教学要求下 ， 有些老师甚至连最简单的提问都不敢直接告诉孩子们答案 ， 生怕孩子们不能自己“探究” ， 从而耽误他们“理解”数学 。
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有一个例子对比非常强烈 。
早在二十世纪初 ， 美国蒙哥马利县就尝试引进数学强国新加坡的部分数学教材 ， 在四所学校试点 。 在新加坡的教材里 ， 有一道经典的题：“玛丽和比尔共有10美元 ， 玛丽的钱比别人多2美元 ， 问玛丽和比尔各有多少钱 。 ”
在美国 ， 孩子们被鼓励用猜测法（Guess-and-Check）来试错 ， 通过把不同的数字组合代入题目 ， 来找到正确答案 。 但是 ， 新加坡的做法是教孩子们用条块图来解题——用条块长度表示两人钱的数目 ， 很清楚就能算出“玛丽有6美元 ， 比尔有4美元“ 。
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而条块图这种被某些人所不齿的“技巧“ ， 在BarryGarelick看来不仅是一种解题方法 ， 也是数形结合的思维方法 。 通过恰当的练习 ， 孩子们可以把“数形结合”的思维方法迁移到其他题目中 。 而仅靠猜测法 ， 孩子恐怕很难看出其中的规律 。
不过最终 ， 因为文化和费用 ， 很多学校没有采用新加坡的数学教材 。
此外 ， BarryGarelick认为缺乏基础指导的问题也同样出现在“真实的问题”这个理念上 。
比如传统的应用题 ， “两列火车以不同的速度相向而行 ， 什么时候相遇？”就被认为是不真实的问题 ， 因为它与孩子的生活无关 。 相反 ， 老师们被鼓励让孩子解决“真实的问题” ， 比如“学校图书馆有100本书 ， 需要多少箱子来包装和运输？”
“可是这种问题真的真实吗？”Barry多次在自己的文章中反问 ， “如果它是真实的问题 ， 那么书本的形状、大小都是未知的 ， 箱子的大小也是未知的 ， 孩子们根本无从下手 ， 只会觉得沮丧 。 ”
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BarryGarelick就在自己的书中回忆了怎么引导孩子思考更难的问题：“在同一条公路上 ， A车自北向南行驶 ， 车速80mph ， B车自南向北行驶 ， 速度70mph ， 相遇前一小时 ， 两车相距多远？”
一般的相遇问题 ， 都是问在一段公路上 ， 两车多久相遇 ， 这道题却不问时间 ， 问距离 ， 对小学的孩子来说比较有挑战 。 于是 ， BarryGarelick教孩子用线段把相遇过程画下来 。
“假设两车相遇在X点 ， 那么一小时前 ， 分别距离X点有多远？”
“A车一小时行驶多远？那么A车到相遇点X的距离就是……”
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