1、含有二次根式的积分,如上面的例子,所做的换元是“三角代换”.
2、被积函数是关于x的有理根式的积分,这时就要用“幂指代换”消去根式.
3、分式函数,且分子的幂低于分母,可以作一个 t=1/x的代换,消去分母中的变量因子,称为“倒代换”.
4、“指数代换”,一般不会用到,若被积函数含有指数函数,可以将指数函数用一个变量代换.
用得最多的是第一种,“三角带换”.只要把反函数搞清楚了,第二类换元法就不难了,精髓在于合理地代换原函数与反函数.
符号不好打出来所以字比较多,多看看课本上的例子吧.
文章插图
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4、关于不定积分的第二类换元法换元的根本目的是要将式子中原本的根号去掉 。
被积函数含根式√(a^2-x^2），令 x = asint ， 源式化为 a*cost 。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t) 。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分 。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分 。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b） ， 可直接令 t =√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2） ， 令 x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令 x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令 x = asect
注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便 。
还有几种代换形式：
（3）倒代换（即令 x = 1/t）：设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当 n-m＞1时 ， 用倒代换可望成功；
（4）指数代换：适用于被积函数由指数 a^x 所构成的代数式；
（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令 t = tan(x/2) 。
在微积分中，一个函数f 的不定积分 ， 或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f 。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定 。其中F是f的不定积分 。
三角万能公式：
tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t).两边对自变量微分得dx=φ’(t)dt.
此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分.由于含有根式的积分比较困难,因此我们设法作代换消去根式,使之变成容易计算的积分.
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b）,可直接令 t =√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换,变根式积分为有理函数积分,有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2）,令 x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2）,令 x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2）,令 x = asect
分部积分法：
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu 。移项得到udv=d(uv)-vdu 。
两边积分，得分部积分公式
∫udv=uv-∫vdu 。⑴
称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 。
：不定积分_百度百科
不管是不定积分第一类换元法，还是第二类换元法，都是采用变量代换的方法，来达到简化不定积分的目的 。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t) 。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分 。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分 。
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