[AGC057D] Sum Avoidance _生活百科

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首先题意翻译:
给定一个正整数 $S$，称一个正整数集合 $A$ 是好的，当且仅当它满足以下条件：

$A$中元素在 $(0,S)$ 之间
不能用 $A$ 中元素多次相加得到 $S$

【[AGC057D] Sum Avoidance】考虑所有好的集合中元素数量最大且字典序最小的集合 $A$，多次询问，求集合 $A$ 从小到大排序后的第 $k$ 项，或集合大小小于 $k$
$ T \le 1000 , S \le 10^{18} $
解法
这什么神仙题啊光是理解题解就好困难啊
先考虑性质2：
首先容易发现 $i,S-i$ 只能在集合中存在一个，若 $S$ 为偶数则 $\frac{S}{2}$ 也不能存在于集合中，所以集合的大小小于等于$\left\lfloor\dfrac{S-1}{2}\right\rfloor$ 。
其次，把所有大于 $\left\lfloor\dfrac{S}{2}\right\rfloor$ 的整数取进集合必然满足条件，所以最大集合的大小一定为$\left\lfloor\dfrac{S-1}{2}\right\rfloor$ 。
且若要满足集合大小最大，对于 $i< \dfrac{S}{2}$，$n-i$ 和 $i$ 一定有一个在集合中。
我们设所有集合 $A$ 中 $< \dfrac{S}{2}$的元素构成集合 $B$，显然 $B$ 是 $A$ 的子集，且确定 $B$ 即可确定 $A$ 。
则 $B$ 有以下性质：
\[如果 a,b \in B，且 a+b < \dfrac{S}{2}，则 a+b \in B 。\]原因是如果 $a+b \notin B$，则 $n-(a+b)$，一定在 $A$中，那么 $a,b,n-(a+b)$ 同时在集合 $A$ 中，显然不满足条件。
考虑满足该性质的集合 $B$ 及对应的 $A$，当它不合法，即 $A$ 中的数多次相加能拼成 $S$ 时，若拼成 $S$ 的数中有一个大于等于 $\dfrac{S}{2}$（即在集合 $A$ 但不在集合 $B$ 中），则这种情况必定不满足性质1，所以我们只需要考虑集合 $B$ 是否合法即可。
那么接下来就是构造了，由于我们要构造字典序最小的 $A$，所以只需从小往大依次枚举每个数，尝试贪心的将其加入 $B$，最后得到的 $B$ 及其对应的 $A$ 就是我们所需要的集合 $A$ 了。
加入数时有两种情况：
1.该数能被已经在 $B$ 中的数组合出，那么这个数必须加，显然加入它之后集合仍旧合法。
2.当非第一种情况时，若加入该数不会使集合 $B$ 不合法，加入该数。
我们设第一个加入集合 $B$ 的数为 $d$，容易发现，$d$ 一定是最小的与 $S$ 互质的数，并且在此之后每当我们用第 $2$ 种方式加入新数时，该数一定与已经在集合中的所有数模 $d$ 不同余（同余的话可以由已经在集合中的同余的数和若干个 $d$ 组合出）。也就是说，以第二种方式加入的数最多只有 $d$ 个。
接下来就来到了同余最短路的相关部分，考虑对于每个 $i\in{0,1,···,d-1}$ 记录一个 $f_i$ 表示已经在 $B$ 的数可以构造出的 $\equiv i (\mod d )$的最小值。
显然，$f$ 不会被第一种情况加入的数影响，且最后由 $f$ 可以得到整个 $B$ 集合（下文讲具体方法）。
先考虑以第二种方式加入一个数 $v \equiv x (\mod d)$，首先一定有 $f_x>v$ （否则就是以第一种方式加入了），可以通过枚举加入的 $v$ 用了多少次更新 $f$ 数组，即:
\[f_i=\min\limits_{k=0}^{d-1}f_{i-k*x \mod d}+v*k\]一个数$v$能被加入当且仅当 $f_x>v$ 且加入后 $f_{S \mod d}>S$ 。我们不妨枚举 $x$，容易发现，对于每个 $x$，加入的合法的 $v$ 有其下界 $dn$，大于等于 $dn$ 且 $\equiv x(\mod d)$ 且小于 $f_x$ 的数均可加入，从而可以得到当前 $x$ 下第一个能加入的数。（当然也可能根本不存在能加入的数）
于是我们可以对每一个 $x$ 找到其能加的数，取其中最小的就是下一个能加的数，重复至多 $d$ 次即可得到最终的 $f$ 数组。