经验总结

  1. 首页 > 生活 > >

FHE学习笔记 #2 多项式环( 二 )

生活百科


这样可以得到「交换幺环上添加元素得到的环」的定义：
设 \(R\) 是交换环，\(\widetilde R\) 是它的扩环，\(u \in \widetilde R \backslash R\)，则称
\[R[u]:=\left\{\sum_{i=0}^n a_i u^i \mid n \in \mathbb{N}, a_i \in R\right\}\]为在 \(R\) 中添加元素 \(u\) 所得到的环，称 \(a_i u^i\) 为 \(R[u]\) 中某个元素的项，\(a_i\) 为这一项的系数 coefficient 。

在更一般的定义当中，我们其实不强制要求 \(u \in \widetilde{R} \backslash R\)，不过这种情况下和 \(R[u]=R\)，同时 \(u\) 不是超越元，我们这里的定义希望排除这种情况 。
可以证明 \(R[u]\) 就是包含 \(R\cup \{u\}\) 最小的环 。
代数元 Algebraic Element和超越元 Transcendental Element我们如果将 \(R[u]\) 当中的 \(u^0(=1), u, u^2, \ldots, u^n, \ldots\) 视作是一些向量，那么 \(R[u]\) 当中的元素 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i\end{aligned}\) 就可以视作是这些向量的「线性组合」 。仿照线性代数当中的说法，我们可以引入代数元和超越元的定义：
设可换幺环 \(R\) 是可换幺环 \(\widetilde{R}\) 的子环，且它们拥有相同的么元，\(u \in \widetilde{R}\) 若存在 \(R\) 中的元素 \(\left\{a_i\right\}_{i=0}^n\)（其中至少某个 \(a_i \neq 0\)）使得 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\)，则称 \(u\) 是 \(R\) 上的代数元，否则称其为 \(R\) 上的超越元 。
从定义中即可看到，\(u \in R\) 必然是代数元，因为我们总是可以取 \(a_0=-u, a_1=1\) 使得 \(a_0+a_1 u=0\) 。
因此在讨论代数元与超越元的时候，我们通常只是在 \(\widetilde{R} \backslash R\) 当中考虑 。
在 \(R\) 上可以通过添加代数元或超越元可以生成环 \(R[u]\) 。
如果借用前文所述「线性相关」的说法，可以看到：
  • \(u\) 是超越元：对于任意的 \(n\)，\(u^0, \ldots, u^n\) 都是「线性无关」的
  • \(u\) 是代数元：对某个 \(n\)，\(u^0, u, \ldots, u^n\) 是「线性相关」的
对于代数元 \(u\)，可以额外引入其次数 Degree 的概念，符号为 \(\operatorname{deg}(u, R)\)，定义如下:
\[\begin{gathered}\operatorname{deg}(u, R):=\min \left\{n \in \mathbb{N}\mid \exists\{a_i\}_{i=0}^n \subseteq R \text { s.t. } \sum_{i=0}^n a_i u^i=0 \wedge \exists m\in \mathbb{N}(0 \leq m \leq n, a_m \neq 0)\right\}\end{gathered}\]
人话版本就是找到一个最小的自然数 \(n\)，使得一个系数不全为 0 的多项式 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\) 。
另一种等价表示是：
\[\begin{gathered}\operatorname{deg}(u, R):=\min \left\{n \in \mathbb{N}\mid \exists\{a_i\}_{i=0}^n \subseteq R \text { s.t. } \sum_{i=0}^n a_i u^i=0 \wedge a^n\not=0\right\}\end{gathered}\]其实只要要求最后一个 \(a^n\not=0\) 即可，因为如果 \(a^n=0\wedge\exists i\in[0,n-1],a^i\not=0\) 使得 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\)，那么系数应该至多为 \(i\) 才对，而不是 \(n\) 。
例子：
  • \(\operatorname{deg}(\sqrt{-1}, \mathbb Z)=\operatorname{deg}(\sqrt{-1}, \mathbb Q)=2\)，因为没有实数 \(a_0,a_1\) 可以使得 \(a_0+a_1\times\sqrt{-1}=0\)，而 \(1+0\times\sqrt{-1}+1\times(\sqrt{-1})^2=0\)
  • \(\operatorname{deg}(\sqrt{-1}, \mathbb C)=1\)，在复数域上可以取 \(1,\sqrt{-1}\)，使得 \(1+(\sqrt{-1})\times(\sqrt{-1})=0\)
一元多项式环和一元多项式有了上述铺垫之后，我们就可以定义一元多项式了:
设 \(u\) 是可换幺环 \(R\) 上的超越元（不定元），则称 \(R[u]\) 为 \(R\) 上的一元多项式环，它里面的元素被叫做一元多项式，记为 \(f(u)=\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\) 。
次数最高项系数为 1 的多项式称为首一多项式 Monic Polynomial

经验总结扩展阅读


上一篇：厦门4050社保补贴新规2023最新 厦门4050社保补贴新规需要什么条件

下一篇：JavaScript之数组高阶API—reduce