FHE学习笔记 #2 多项式环( 四 ) _生活百科

加法的逆元（负元）：$-(a_0,a_1,\ldots)=(-a_0,-a_1,\ldots)$

乘法的幺元（单位元）：$\mathbf{1}=(1,0,\ldots)$

证明幺元：
对于任意的 $\boldsymbol{a}=\left(a_0, \ldots, a_n, 0,0, \ldots\right)$，设 $\boldsymbol{1} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，则
\[b_k=\sum_{i=0}^k 1_i a_{k-i}=1_0 a_k+1_1 a_{k-1}+\cdots+1_k a_0=a_k, k\in\{0,1,\ldots,n\}\]因为 $1_0=1$，而 $1_{i \geq 1}=0$ 。这就意味着 $1 \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}$ 恒成立，因此这里定义的 $\bf 1$ 就是 $V$ 的幺元

子环 $R_0$ 的形式为 $R_0=\{(a,0,0,\ldots)\mid a\in R\}$，可以证明其为 $\widetilde R$ 的子环
同态映射为 $\varphi: R\to R_0, \forall a\in R,\varphi(a)=(a,0,\ldots)\in R_0$，可证为环同构映射
不定元取 $u=(0,1,0,\ldots)$

根据大环上的乘法，可以得到 $u^2=(0,0,1,0,\ldots)$，类似 $u^k=(\overbrace{0,0,\ldots,0}^{k个0},1,0,\ldots)$
要证明 $u$ 是 $R_0$ 上的不定元，需要证明 $\forall a_0,a_1,\cdots,a_n\in R$，对应 $R_0$ 中的元素 $(a_0,0,0,\ldots),(a_1,0,0,\ldots),\ldots,(a_n,0,0,\ldots)$，则
\[\begin{aligned}&(a,0,0,\ldots)\mathbf{1}+(a,0,0,\ldots)u+\cdots+(a,0,0,\ldots)u^n\\&=(a,0,0,\ldots)(1,0,0,\ldots)+(a,0,0,\ldots)(0,1,0,\ldots)+\cdots+\\&\quad~(a,0,0,\ldots)(\overbrace{0,0,\ldots,0}^{n个0},1,0,\ldots)\\&=(a_0,a_1,\ldots,a_n)\end{aligned}\]若 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)=\bf 0$，说明 $a_0=a_1=\cdots=a_n=0$，即 $u$ 确实为 $R_0$ 上的不定元。

极小多项式 Minimal Polynomial