FHE学习笔记 #2 多项式环( 三 ) _生活百科

我们之所以要求 \(u\) 是不定元, 主要是因为我们希望得到下面的一个结论:
设 \(R[u]\) 是交换么环 \(R\) 上的一元多项式环，\(\begin{aligned}f_1(u)=\sum_{i=0}^n a_i u^i\end{aligned}\) 和 \(\begin{aligned}f_2(u)=\sum_{i=0}^m b_i u^i\end{aligned}\)，则 \(f_1(u)=f_2(u)\) 当且仅当：

\(a_i=b_i\) 对任意 \(i, 0 \leq i \leq \min (m, n)\) 成立
当 \(i>\min (m, n)\) 之后必须恒有 \(a_i=0\)（如果 \(n>m\)）或 \(b_i=0\)（如果 \(m>n\)）

根据不定元的性质进行证明:
不妨设 \(m \leq n\), 则 \(f_1(u)=f_2(u)\iff f_1(u)-f_2(u)=0\)，这就等价于
\[\sum_{i=0}^m\left(a_i-b_i\right) u^i+\sum_{j=m+1}^n a_i u^j=0\]而根据不定元的要求，此时必须有
\[\begin{aligned}a_i-b_i &=0,0 \leq i \leq m \\a_i &=0, m+1 \leq i \leq n\end{aligned}\]这就表明 \(p_1(u)\) 自 \(a_{m+1}\) 开始（包括它自身）后续的 \(a_i\) 都是零，且前面的 \(m+1\) 项恒有 \(a_i=b_i\) 。

如果我们不对 \(u\) 做要求，就会使得多项式环中元素的多项式表示不唯一，两个多项式的相等关系就很难建立起来，给研究带来困难。

但是存在可换幺环没有不定元，此时多项式表示不唯一。

在定义中，每个多项式都可以写成 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i\end{aligned}\) 的样子，这里的 \(n\) 是不固定的，所以上述定理中两个相等的多项式可以相差任意个零系数因子 \(0 u^n\)，为了排除这种情况，对 \(R[u]\) 中多项式元素的表示进行处理：

首先，将 \(R[u]\) 中元素写成
\[ f(u)=\sum_{i=0}^{+\infty} a_i u^i\]
其中只有有限个 \(a_i\) 不为 0，因为 \(R[u]\) 中元素必为代数元，所以有确定的次数 \(n=\operatorname{deg}(f(u),R)\)，所以当 \(i>n\) 时恒有 \(a_i=0\)
最后可以等价写为一个无穷序列的形式：\((a_0,a_1,\ldots,a_n,0,0,\ldots)\)
注意 \(0=0+0u+\cdots+0u^n\in R[u]\)，其称为零多项式，一般可以认为 \(\operatorname{deg}(0,R)=-\infty\)或者零多项式没有次数

一元多项式环的存在性最后引出重要定理：
可换幺环上的一元多项式环一定存在，即任意可环幺环上都可以定义一元多项式环
证明比较复杂，笔者只能简单写下思路，假设可换幺环为 \(R\)：

证明存在大环 \(\widetilde R=\{(a_0,a_1,\ldots,0,0,\ldots)\mid a_i\in R\}\)，其中的非零元有限
在 \(\widetilde R\) 中找到一个子环 \(R_0\)，使得 \(R_0\cong R\)，即两个环同构
在 \(\widetilde R\backslash R_0\) 找到一个元素 \(u\)，证明其为 \(R_0\) 上的不定元
在 \(R_0\) 添加上 \(u\) 形成一元多项式环 \(R_0[u]\)，实际上可以证明 \(R_0[u]=\widetilde R\)
由于同构，可以得到 \(R[u]\cong R_0[u]\)，即 \(R_0[u]\) 就是 \(R\) 上的一元多项式环

文章插图

里面有一些细节展开描述：

大环上的加法：
类似于平时认知的多项式相加，即对应系数相加即可：
\[(a_0,a_1,\ldots)+(b_0,b_1,\ldots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,\ldots)\]
大环上的乘法：
其实也类似于平时认知的多项式相乘，但是要注意并不是简单的对应元素相乘。
假设乘积结果的元素为 \(c_k\)，即 \((a_0,a_1,\ldots)\times(b_0,b_1,\ldots)=(c_0,c_1,\ldots)\)，则 \(\begin{aligned}c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j\end{aligned}\)
要证明对加法成交换群，对乘法成可换幺半群，乘法对加法满足分配律，别忘了还要证明两个运算的封闭性